Википедия
Комплексифика́ция — это операция построения по данному вещественному пространству «наиболее близкого» к нему комплексного пространства. Простейший пример — комплексификация конечномерного вещественного векторного пространства . В этом случае, интуитивно, элемент пространства представляется последовательностью вещественных чисел, и можно «рассмотреть эти числа как элементы $\C$». Тогда можно ввести операцию умножения вектора на комплексные числа, что даст комплексное векторное пространство той же размерности. Формально это означает сопоставление данному вещественному пространству V комплексного пространства $V^C = V\otimes_{\R} \C$, называемого комплексификацией V (на нём вводится естественное умножение на элементы $\C$). Здесь $\otimes_{\R}$ — тензорное произведение над $\R$
Комплексификацию можно определить и для других типов вещественных пространств ( многообразий , групп Ли , алгебр , …). В общем случае это весьма нетривиальная операция: многие пространства не имеют комплексификации. Общее определение даётся с помощью понятия сопряжённого функтора .
Обратная операция называется овеществление. Его определить несколько проще, чем комплексификацию.